GRE官方指南：描述統(tǒng)計(jì)學(xué)考點(diǎn)解析

小編在得知現(xiàn)在有很多同學(xué)因?yàn)檩p視GRE考試中的數(shù)學(xué)部分而丟分，感到非常的“痛心疾首”。數(shù)學(xué)一直是中國(guó)考生的強(qiáng)項(xiàng)，如果我們把應(yīng)該屬于我們的分?jǐn)?shù)丟掉，那是多么的不應(yīng)該。今天，小編想通過(guò)北京新東方張巍老師的文章分享，幫助大家查漏補(bǔ)缺，同時(shí)讓大家對(duì)GRE的數(shù)學(xué)部分引起重視。

眾所周知，中國(guó)考生很容易在GRE數(shù)學(xué)部分（Quantitative Reasoning）取得高分甚至是滿分，這主要?dú)w功于中國(guó)教育體系中數(shù)學(xué)教育的扎實(shí)基礎(chǔ)。對(duì)絕大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，GRE數(shù)學(xué)部分的考點(diǎn)幾乎都是小學(xué)數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)中比較簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)，只有極少部分的知識(shí)涉及到高中數(shù)學(xué)。但筆者卻認(rèn)為這是一把雙刃劍，因?yàn)楣P者在教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較優(yōu)異的學(xué)生主觀上認(rèn)為GRE數(shù)學(xué)很簡(jiǎn)單，因而完全不去復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)，但是其實(shí)某一些數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)，他們已經(jīng)遺忘或者就不曾學(xué)過(guò)。下面，筆者就總結(jié)在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的學(xué)生容易遺忘的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：描述統(tǒng)計(jì)學(xué)和正態(tài)分布。希望考生在看完這篇文章之后，能夠查漏補(bǔ)缺，更加重視GRE數(shù)學(xué)，力求在考試中數(shù)學(xué)部分取得滿分的成績(jī)。

1. 描述統(tǒng)計(jì)學(xué)中描繪資料的數(shù)字方法

“Data can bedescribed numerically by various statistics, or statistical measures. Thesestatistical measures are often grouped in three categories: measures of centraltendency, measures of position, and measures of dispersion.”這句話是ETS官方指南對(duì)于描述統(tǒng)計(jì)學(xué)中描繪資料的數(shù)字方法考點(diǎn)的一個(gè)解釋，我們看出主要考察三種類型的數(shù)據(jù)資料：第一種是關(guān)于集中趨勢(shì)（central tendency），第二種是關(guān)于位置（position），第三種是關(guān)于散步（dispersion）。

集中趨勢(shì)（central tendency）中，官方指南要求我們掌握三個(gè)要素：算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean或者通常表示為average或mean），中數(shù)（median），眾數(shù)（mode）。

算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean）指一組數(shù)據(jù)的總和與數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)之商，這個(gè)概念考生一般不會(huì)出問(wèn)題，因?yàn)檫@畢竟是日常生活中經(jīng)常使用的一個(gè)術(shù)語(yǔ)。需要指出的是，按照官方指南的要求，我們不需要掌握幾何平局?jǐn)?shù)和調(diào)和平均數(shù)這兩個(gè)在國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)體系中會(huì)涉及的概念。

關(guān)于中數(shù)（median）的定義，筆者引用官方指南上的原話：”To calculate the median of n numbers, first order the numbers fromleast to greatest. If n is odd, then the median is the middle number in theordered list of numbers. If n is even, then there are two middle numbers, andthe median is the average of these two numbers.”從這句話中筆者提煉出兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：第一個(gè)是需要把所有的數(shù)字按照從小大到的順序進(jìn)行排列；第二個(gè)是關(guān)于確定中數(shù)，如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)字，那么中數(shù)就是中間的那個(gè)數(shù)字，如果有偶數(shù)個(gè)數(shù)字，那么中數(shù)就是中間兩個(gè)數(shù)字的算術(shù)平均數(shù)。例如，1,2,3,5,7這五個(gè)數(shù)字的中數(shù)是3，而1,2,3,5,6,8這六個(gè)數(shù)字的中數(shù)是4（3和5的平均數(shù)）。

關(guān)于眾數(shù)（mode），官方指南的說(shuō)法是“Themode of a list numbers is the number that occurs most frequently in the list.”也就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率高的數(shù)字。需要指出的是，一組數(shù)據(jù)中可能存在不止一個(gè)眾數(shù)，例如1,2,3,4,4,5,5,6,7這組數(shù)據(jù)中，4和5都是眾數(shù)。

位置（position）這一概念，官方指南要求我們掌握的是四分位數(shù)（quartile）和百分位數(shù)（percentile）。

在官方指南的解析中，四分位數(shù)一共有三個(gè)（這里筆者把他們分別命名為第一四分位數(shù)、第二四分位數(shù)和第三四分位數(shù)），它們將一組數(shù)據(jù)分為四個(gè)相等的組，其中第二四分位數(shù)同時(shí)也是這組數(shù)據(jù)的中數(shù)，而第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù)的求法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)里面有許多規(guī)則，而GRE考試用的是常見的規(guī)則。原文如下：“Because the number of data in a list may not be divisible by 4,there are various rules to determine the exact values of Q1 and Q3, and somestatisticians use different rules, but in all cases Q2=M. We use perhaps thenumbers and the greater numbers—and then Q1 is the median of the lesser numbers and Q3 is the medianof the greater numbers.”其中，Q1表示第一四分位數(shù)，Q2表示第二四分位數(shù)，Q3表示第三四分位數(shù)，M表示中數(shù)。按照官方指南的定義，我們求四分位數(shù)采用的方法即為兩次求中數(shù)，但是需要根據(jù)數(shù)字個(gè)數(shù)的奇偶性做討論。例如1,3,5,7,8這組數(shù)據(jù)，要求它們的四分位數(shù)，首先是求第二四分位數(shù)Q2=M=5，然后數(shù)字5把數(shù)據(jù)分為兩個(gè)部分，一部分是1,3，一部分是7,8，因此第一四分位數(shù)Q1=2（1和3的中數(shù)），而第三四分位數(shù)Q3=7.5（7和8的中數(shù)），這是奇數(shù)個(gè)數(shù)字的情況。再看下面這個(gè)偶數(shù)個(gè)數(shù)字的例子，1,2,3,5,6,7，首先第一步還是求第二四分位數(shù)Q2=M=4，然后4把這組數(shù)據(jù)分為1,2,3和5,6,7這兩部分，再分別求著兩部分的中數(shù)得Q1=2，Q3=6。

百分位數(shù)的確定道理和四分位數(shù)類似，有99個(gè)percentilenumbers將所有數(shù)字分為相等的部分。在GRE分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)形式中，有一個(gè)常見的數(shù)據(jù)便是percentile，這個(gè)數(shù)據(jù)能大致反映考生成績(jī)和其他人進(jìn)行比較后的情況，例如某考生verbal部分的percentile為68%，這表明該考生的verbal成績(jī)比68%的考生要高。

關(guān)于數(shù)據(jù)的散步，官方指南中首先要求我們掌握極差（range）的算法，然后是要求我們學(xué)會(huì)識(shí)別箱型圖，后是關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)方差（standard deviation）的算法。

極差的定義比較簡(jiǎn)單：“The rangeof the numbers in a group of data is the difference between the greatest numberG in the data and the least number L in the data, that is G-L.”一句話說(shuō)就是大值減去小值的差。

而箱型圖是很多考生不太熟悉的東西，有的考生甚至從來(lái)沒(méi)聽說(shuō)過(guò)，但這個(gè)知識(shí)點(diǎn)卻是GRE官方指南要求掌握的。我們來(lái)看一個(gè)例子，筆者將用例子來(lái)告訴大家箱型圖的各個(gè)要素。

左邊的豎線表示的是這組數(shù)據(jù)的小值，從左到右的第二個(gè)豎線表示的是這組數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)，第三個(gè)豎線表示的是這組數(shù)據(jù)的第二四分位數(shù)，第四個(gè)豎線表示的是這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)，有一條豎線表示的是這組數(shù)據(jù)的大值。只要能知道幾個(gè)豎線分別表示的含義，箱型圖的題目很好解決了。

關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)方差（standard deviation）這個(gè)概念，作為中國(guó)考生應(yīng)該不會(huì)陌生，但是具體的算法，很多人卻是云里霧里。一般來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)方差的算法如下：先計(jì)算所有數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，然后計(jì)算出每個(gè)數(shù)字與算術(shù)平均數(shù)的差的平方和，然后再求一次平均數(shù)，后再開一次方。舉個(gè)例子：求1,2,3,4,5這幾個(gè)數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)方差。先求出算術(shù)平均數(shù)3，然后計(jì)算（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2=10，然后再計(jì)算算數(shù)平均數(shù)=10÷5=2，后開方得標(biāo)準(zhǔn)方差為根號(hào)2。關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)方差表示的數(shù)學(xué)意義，官方指南解釋如下：“The standard deviation is a measure of spread that depends on eachnumber in the list. Using the mean as the center of the data, the standarddeviation takes into account how much each value differs from the mean and thentakes a type of average of these differences. As a result, the more the dataare spread away from the mean, the greater the standard deviation; and the morethe data are clustered around the mean, the lesser the standard deviation.”簡(jiǎn)單一句話，標(biāo)準(zhǔn)方差就是表現(xiàn)數(shù)據(jù)離散性的，標(biāo)準(zhǔn)方差越大，數(shù)據(jù)越分散，標(biāo)準(zhǔn)方差越小，數(shù)據(jù)越集中。

2. 描述統(tǒng)計(jì)學(xué)中的正態(tài)分布

關(guān)于正態(tài)分布，GRE考察的難度也比較小，下面是摘自官方指南的一段話：“Many natural processes yield data that have a relative frequencydistribution shaped somewhat like a bell, as in the distribution below withmean m and standard deviation d.而下面是官方指南上正態(tài)分布的圖形。（m表示平均數(shù)，d表示標(biāo)準(zhǔn)方差）

這個(gè)圖形是大致服從正態(tài)分布，官方指南要求我們需要掌握四個(gè)主要性質(zhì)：

① 平均數(shù)，中數(shù)和眾數(shù)幾乎是相等的。

② 圖形是關(guān)于平均數(shù)對(duì)稱的。

③ 大約三分之二的數(shù)據(jù)是在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方差之內(nèi)（m-d到m+d）

④ 幾乎所有的數(shù)據(jù)都在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方差之內(nèi)（m-2d到m+2d）

一般來(lái)說(shuō)，如果數(shù)據(jù)更精確一點(diǎn)的話，（m-d，m+d）的區(qū)間占這個(gè)圖形的比例大約為68%），（m-2d，m+2d）的區(qū)間占這個(gè)圖形的比例大約為96%。舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，例如某學(xué)校學(xué)生的平均身高是4250px，而標(biāo)準(zhǔn)方差是125px，那么這個(gè)學(xué)校學(xué)生身高在4125px到4375px的人數(shù)所占的比例大約是68%，4000px到4000px的人數(shù)所占的比例大約是96%。新官方指南不要求我們掌握著兩個(gè)數(shù)據(jù)，但是掌握這兩個(gè)數(shù)據(jù)會(huì)對(duì)正態(tài)分布理解更加準(zhǔn)確。

我們終的目標(biāo)都是要在GRE數(shù)學(xué)中取得高分甚至是滿分，因此我們是不能隨意漏掉任何知識(shí)點(diǎn)的，也希望同學(xué)們能夠更加重視GRE數(shù)學(xué)，查漏補(bǔ)缺，在后的考試中取得滿意的成績(jī)。